Polinomios

Polinomios

Es una expresión algebraica  expresada de la siguiente forma:

P(x)= anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+.....+a1x1+a0

también es puede decir función polinómica.

ejemplo:

P(x)= 7x6+ 4x5- 3x2+5x1-1

Elementos de un polinomio:

1. Esta formado por sumas y restas 7x6 4x5 3x2 5x1 1, cada uno de ellos recibe el nombre de términos. En este ejemplo hay cinco (5).
2. Los números que multiplican las variables x, reciben el nombre de coeficientes, 7,4,-3,5, -1.
3. El término constante no tiene variable puesto x0 =1 ,como en este ejemplo -1  
4. EL grado de un polinomio es el exponente mayor 

1.- Términos semejante

Si tiene la mismas parte literal (letra) y el mismo grado (exponente).

Ejemplos:

• 3x y -2x
• 4x3   3x3

Ellos se pueden reducir a un solo término si se encuentran en el mismo polinomio. se consideran los números para la operación que corresponda conservando el literal idéntico.

3x-2x= (3-2)x=x

4x3 +  3x3 = (4+3)x3 =7x3

2.- Clasificación de los polinomios:

• Monomio

Esta formando por un sólo término.

ejemplo:

 

P(x)=3x

Q(z)= -5z3

• Binomio 

Esta formado por dos términos

P(x)=3x-9

Q(z)= 7-5z3

• Trinomio

Esta formado por tres términos

P(x)=3x3 +4x-2

Otro tipo de polinomios según sus características.

Polinomio nulo	Es aquel cuyos coeficientes son iguales a cero	P(x)=0
Polinomio constante	Esta formado por el término independiente y representa una recta. Revisa en Funciones	P(X)=3
Polinomio identidad	Se escribe P(x)=x Revisa en Funciones

Según el grado:

Polinomio primer grado	P(x)= ax+b donde a 0	P(x)=4x-7
Polinomio segundo grado	P(x)=ax2+bx+c donde a0	P(x)=x2+7x+2
Polinomio completo o incompleto.	P(x)= anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+.....+a1x1+a0 Completo:si todos los coeficientes son distintos de cero (están presentes todos los términos) Incompletos: uno o algunos coeficientes son iguales a cero (0). faltan términos.	P(x)=5x3-9x2+5x+2       todos los terminos presente P(x)=x5+x+5 faltan los términos cuadráticos, cubo y cuarto. P(x)=x5+0x4+0x3+0x2+5x+2

3.- Orden de un polinomio

•  Orden creciente:  significa colocar los términos de menor a mayor.

P(x)=2+5x -9x2+5x3

• Orden decreciente:  significa colocar los términos de mayor a menor

P(x)=5x3-9x2+5x+2

4.- Operaciones con polinomios

a.- Adición entre polinomios

Para sumar polinomios se agrupan los términos semejantes entre si y se adicionan.

si P(x)= anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+.....+a1x1+a0 se adiciona con

 Q(x)= bnxn+bn-1xn-1+bn-2xn-2+.....+b1x1+b0

P(x)+Q(x)= (an+bn)xn+(an-1 + bn-1 )xn-1++.....+(a1 +b1  )x1+a0 +b0

Ejemplo

b.- multiplicación

• para multiplicar una constante por un polinomio, se multiplica el coeficiente de cada término del polinomio por la constante.

P(x)=x2+7x+2          K=5

5P(x)=5(x2+7x+2)= 5x2+(5)7 x +(5)2 = 5x2+35 x +10

5P(x)=5x2+35 x +10

• Si son monomios axn y  bxm , se aplica las propiedades de los exponentes se conserva la base y se suman los exponente, y los coeficientes se multiplican.
  (axn )( bxm)=a.b xn+m

(4x6 )( -3x3)=(4)(-3) x6-3= -12x3

• para multiplicar un monomio por el polinomio, se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

P(x)=x3+7x2 -5         Q(x)=3x4

P(x)Q(x)=(x3+7x2-5)(3x4)

              = 3 x3+4 +(7)(3)x2+3+(-5)(3)x4

             =3 x7 +21x5-15x4

• Multiplicación entre polinomios.

Pasos a seguir:

• se ordena en forma creciente o decreciente, si es necesario.
• se multiplica cada término del polinomio por el segundo polinomio. (como una distributiva).
• se realizan los productos entre los monomios
• se suman términos semejantes.

c.- División

Comenzando se debe recordar que dividir un monomio, axn entre bxm se realiza la operación entre los coeficientes y luego las variables (conservando la base y se restan los exponentes)

axn+bxm= (a/b) xn-m

• División de un polinomio entre un monomio

Se debe ordenar el polinomio en orden decreciente, dividiendo cada termino por el monomio.

• división entre polinomios

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), tal que el grado del dividendo sea mayor o igual que del divisor

• Se ordena el dividendo y el divisor según las potencias decrecientes de la variable. 
• Se divide el término primero del dividendo entre el primero del divisor, para obtener el valor del cociente.
• Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y  restando al dividendo el resultado anterior para conseguir el primer resto parcial.
• Repitiendo el procedimiento haciendo ahora de dividendo el primer resto parcial. La división finaliza cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor.

Regla de Ruffini o División simple

1. Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término. Si es necesario  se completa a 0. A la izquierda se pone la raiz del binomio  (el número que se resta a x en Q(x)),  y se baja el coeficiente del término de mayor grado.
2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado por el que se ha colocado a la izquierda. El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman.
3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por la raíz del binomio y se repite el procedimiento tanta veces como sea posible.
4. El último número se corresponde con el resto de la división mientras que el resultado corresponde a los  números de la fila inferior, son los coeficientes del cociente.

Nota; solo se puede aplicar si un binomio lineal ya que de lo contrario no tendría una sola raíz.

Ejemplo:

Hallar el resultado de la división simple de P(x)/Q(x), usando la regla de Ruffini

P(x)=3x3+5x2-2x+1 Q(x)=x+2

La regla se puede usar ademas para factorizar,  cuando los polinomio son de grado superiores. Se debe hacer pruebas al azar con valores multiplos de el termino independiente. 

Guía de ejercicios aquí

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