Funciones

Funciones

Concepto de función

Una función “f” de un conjunto X en otro Y, es una correspondencia  que asigna a cada elemento x de X exactamente un elemento y de Y. Se dice  que y es imagen de todo  x bajo “f”, denotado f(x). Simplificando se puede decir que una función es la correspondencia entre dos conjuntos, el dominio y el rango o recorrido, tal que a cada valor del dominio corresponde exactamente uno y solo uno valor del  rango.

Dominio de una función 

El dominio de “f” es el conjunto  X, es el conjunto de números reales para en cual la regla tiene sentido. Corresponde a la variable independiente.

Rango  o Recorrido de una función 

Consta del conjunto de imágenes  de x, es el conjunto Y, la cual corresponde a la variable dependiente. También en algunos libros se le conoce como contradominio.

Clasificación de las funciones

Función Inyectiva

Se llama función inyectiva si a cada valor de su recorrido (rango) le corresponde exactamente uno elemento de su dominio.

Función Sobreyectiva o Suprayectiva

Es cuando el rango de f es todo el conjunto Y

Función biyectiva

Se cumplen ambas condiciones.

Elaboración de Gráficas

Primero se presentara la estructura del sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares.

Partes del plano cartesiano

Origen: Intersección entre los ejes de coordenadas. Es el punto (0,0).

Cuadrante se forman por la intersección de estas rectas, correspondientes al eje x y eje y

La figura describe la ubicación de los cuadrantes, en el primero ambas variables tanto la independiente (x) como la dependiente (y) son positivas, en el segundo x es negativa, mientras que y es positiva. En el tercer cuadrante ambas son negativas  y por último en el cuarto x es positiva y la variable y es negativa.

Los puntos en el plano cartesiano corresponde a pares de números p (x,y). Para ubicar estos puntos se toma en cuneta dos unidades de distancia tomando como punto inicial, el origen (0,0), para el ejemplo son dos unidades a partir de cero y se proyecto una perpendicular al eje, en forma simultanease desplaza desde el cero por el eje y 3 unidades, una proyección perpendicular al eje. El punto es la intersección de las proyecciones.    

 Gráfica de una función

La gráfica de una función cuyas variables son x y y esta formadad por todos los puntos de un sistema cartesiano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada.

Ejemplo:

y=2x -1 

 

 

Prueba de la vertical para las funciones

Esta prueba para determinar si una gráfica corresponde a una función o no

Esta consiste en trazar una recta vertical en la gráfica en estudio, si la línea que pasa por la abscisa intersecta solo una vez la gráfica se considera una función, pero si toma mas de un punto  no lo es.

La ecuación con mas de una variable elevada a un exponente no define una función en x, esto define una relación mas no una función.

Ejemplo:

Considerando las siguientes definiciones Función creciente Dados dos valores x1 y x2 donde x1 es menor que x2 será creciente la función si f(x1) es menor que f(x2).   Función decreciente  Dados dos valores x1 y x2 donde x1 es menor que x2 será decreciente la función si f(x1) es mayor que f(x2).     Función monótona Si una función con la misma tendencia dentro del intervalo, es una función monótona Función Par Es aquella función que cumple simetría con  el eje y. Demostrando tal simetría con la sustitución de la variable x negativa sin alteración del valor de la función Función impar Es impar aquellas que cumplen simetría con el origen de coordenadas. Demostrando esto con la sustitución de las variables (-x,-y), sin alteración del valor de la función.    Función acotada Una función es acotada en un intervalo si el conjunto de imágenes de los elementos se desenvuelve entre un valor máximo y uno mínimo  para todos los valores de x.

Función lineal

Se define como:   f(x)= mx + k , donde m, k son constantes. Corresponden a una gráfica de una linea recta de pendiente m, Cuyo dominio son todos los números reales y el recorrido también. Se pueden considerar casos particulares

1.- m<0

En este caso se tiene una función monótona, decreciente y no acotada en todo su dominio.

 2.- m>0

En este caso se trata  de una función monótona creciente y no acotada en todo su dominio

 

Función Identidad

Se representa con f(x)=x

donde cada valor es imagen de si mismo cuyo dominio son todos los números reales y su rango corresponde a la función real, es decir todos los números reales.Esta es una función monótona creciente, también simétrica impar y no acotada en todo su dominio.

dom [-∞,∞]

R(x)=  [-∞,∞]

 Funcion constante

 Corresponde  a una función lineal de pendiente nula. Donde el dominio son todos los números reales, mientras que el recorrido es un conjunto unitario, el cual es representado por k.

dom [-∞,∞]

R(x)= { k}

f(x)=Y=k 

Función cuadratica

Viene definida por:

Esta función se representa graficamente  por una parabola. cuyo dominio son todos los números reales mientras que el rango depende del valor del vértice de la figura.  

1.- Si a>0

El rango de esta es;

La función es decreciente en el intervalo (-∞, -b/2a) y creciente es (-b/2a, +∞)-

En este caso la función cuadrática  es acotada  inferiormente pero no en su parte superior. Como se muestra en la figura.

2.- si a<0 

El rango 

En esta condición La función es creciente en el intervalo (-∞, -b/2a) y decreciente es (-b/2a, +∞). En este caso la función cuadrática  es acotada  en su parte superior y no el la inferior. Como se muestra en la figura.

 

Función valor absoluto o módulo

La cual de define f(x)= |x|

El dominio de esta función son todos los números reales y el rango generalmente será

 [0, +∞).

Valor absoluto resulta una función no monotona en todo su dominio, de donde se puede identificar los siguientes intervalos (-∞, 0) es decreciente y (0,+∞) es creciente. Es una función acotada inferiormente.

Funciones Cúbicas

Se define como 

Donde a,b,c,d son constantes y a ≠ 0

El dominio y el rango de esta función son todos los números reales. Esta curva posee dos puntos de inflexión o picos (un máximo y un mínimo).

En línea general estas funciones dependen de los puntos de inflexión para determinar su comportamiento.

Un caso especial dentro de estas funciones es la parábola cúbica 

Esta es una función impar por su simetría con el origen, es monótona creciente.

 Funciones polinomiales  

Se define por un polinomio de grado n 

En donde n es un número entero no negativo. Es válido hacer notar que aquellas funciones polinómica de grado par tienen una cota máxima o mínima mientras que las impares no.