Desigualdades e inecuaciones

Inecuaciones 



Desigualdad

     Se denomina desigualdad a toda expresión matemática que se establece entre números reales mediante los signos  <, >, o ≥.

Ejemplo

3x-2 ≥ 0
se lee 3x menos 2 moyror o igual que




<
menor que
>
mayor que
mayor o igual que
menor o igual que







Propiedades de las desigualdades



  1. si  a<b, entonces a+c<b+c para cualquier número real c.  Si ambos miembros de una desigualdad se les suma o se les resta la misma cantidad, dicha desigualdad mantiene el sentido (mayor o menor).    x -94 x-9+9≤4+9   x≤13
  2. si  a<b, entonces ac<bc donde  c>0. Si a ambos miembros se les multiplica o divide por la misma cantidad positiva no afecta el sentido de la desigualdad.  5x≤15 5x(1/5)≤15 (1/5)   x≤3
  3. si  a<b, entonces ac>bc donde  c<0. Si a ambos miembros se les multiplica o divide por la misma cantidad negativa entonces se afecta el sentido de la desigualdad, invirtiéndose. -4x<20 -4x(-1/4)>20(-1/4) x>-5
  4. si  a<b y  b<c, entonces  a<c
1<2 y 2<7, entonces 1<7

Intervalos.

Si a<b, el


Nombre
Símbolo
Definición
Representación gráfica
Intervalo abierto
(a,b)
{x/a<x<b}
Intervalo cerrado
[a,b]
{x/a≤xb}
intervalo semiabierto
(a,b]
{x/a<xb}

[a,b)
{x/ax<b}
Intervalo infinito
(a,∞)
{x/x>a}

[a,∞)
{x/x≥a}

(-∞,b)
{x/x<b}

(-∞.b]
{x/xb}

(-∞,∞)
{x/-∞<x<∞}

Inecuaciones


1.-Lineales 
Es una desigualdad que involucra números reales y una variable. El valor de la incógnita que convierte a la inecuación en una desigualdad verdadera se denomina solución de la inecuación.

ejemplos


  • 3x+94
3x≤4-9 S: (-∞.-5/3]
3x≤-5
x-5/3

  • 7(x-1)>5x
7x-7>5x
7x-5x >7
2x  > 7 S: (7/2,∞)
x  > 7/2


  • -6<y<-4
Aquí se resuelven dos inecuaciones: 
1) -6<y
2) y<-4
la solución de ejercicios es la intersección de las dos respuestas
Sol 1





Sol2
S:



        

(-6,-4)


2.- Cuadráticas
A diferencia del caso anterior es que la variable esta elevada al cuadrado.

Ejemplo

  • se factoriza

x2-1>0
(x-1)(x+1)>0

  • se estudia cada factor por separado (método del cementerio o estudio de casos)


En el estudio de caso se estudia cada condición y se intersectan


Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita.

Es la unión de dos o mas inecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes reales, las cuales comparten una misma solución.




Se debe encontrar el conjunto de números reales que satisfagan las todas desigualdades.

Ejemplo 1
 

inecuación 1                                                          inecuación 2

5x+2<-3                                                                 x-3>5       
5x<-3-2                                                                  x>5+3
5x<-5                                                                     x>8         
x<-5/5                                                                     (8,∞)
x<-1                                                 
(-∞,-1)
Se considera vacía porque no intersección entre las respuesta parciales de cada inecuación.



Inecuación 1                               Inecuación 2
x+1>-2                                         3x<18
x>-2-1                                          x<18/3
x>-3                                             x<6     












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