Matemática Básica: Desigualdades e inecuaciones

Inecuaciones

Desigualdad

Se denomina desigualdad a toda expresión matemática que se establece entre números reales mediante los signos <, >,≤ o ≥.

Ejemplo

3x-2 ≥ 0
se lee 3x menos 2 moyror o igual que

<	menor que
>	mayor que
≥	mayor o igual que
≤	menor o igual que

Propiedades de las desigualdades

si a<b, entonces a+c<b+c para cualquier número real c. Si ambos miembros de una desigualdad se les suma o se les resta la misma cantidad, dicha desigualdad mantiene el sentido (mayor o menor). x -9≤4 x-9+9≤4+9 x≤13
si a<b, entonces ac<bc donde c>0. Si a ambos miembros se les multiplica o divide por la misma cantidad positiva no afecta el sentido de la desigualdad. 5x≤15 5x(1/5)≤15 (1/5) x≤3
si a<b, entonces ac>bc donde c<0. Si a ambos miembros se les multiplica o divide por la misma cantidad negativa entonces se afecta el sentido de la desigualdad, invirtiéndose. -4x<20 -4x(-1/4)>20(-1/4) x>-5
si a<b y b<c, entonces a<c

1<2 y 2<7, entonces 1<7

Intervalos.

Si a<b, el

Nombre	Símbolo	Definición	Representación gráfica
Intervalo abierto	(a,b)	{x/a<x<b}
Intervalo cerrado	[a,b]	{x/a≤x≤b}
intervalo semiabierto	(a,b]	{x/a<x≤b}
	[a,b)	{x/a≤x<b}
Intervalo infinito	(a,∞)	{x/x>a}
	[a,∞)	{x/x≥a}
	(-∞,b)	{x/x<b}
	(-∞.b]	{x/x≤b}
	(-∞,∞)	{x/-∞<x<∞}

Inecuaciones

1.-Lineales
Es una desigualdad que involucra números reales y una variable. El valor de la incógnita que convierte a la inecuación en una desigualdad verdadera se denomina solución de la inecuación.

ejemplos

3x+9≤4

3x≤4-9 S: (-∞.-5/3]

3x≤-5

x≤-5/3

7(x-1)>5x

7x-7>5x

7x-5x >7

2x > 7 S: (7/2,∞)

x > 7/2

-6<y<-4

Aquí se resuelven dos inecuaciones:

1) -6<y

2) y<-4

la solución de ejercicios es la intersección de las dos respuestas

Sol 1

Sol2

(-6,-4)

2.- Cuadráticas
A diferencia del caso anterior es que la variable esta elevada al cuadrado.

Ejemplo

se factoriza

x2-1>0
(x-1)(x+1)>0

se estudia cada factor por separado (método del cementerio o estudio de casos)

En el estudio de caso se estudia cada condición y se intersectan

Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita.

Es la unión de dos o mas inecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes reales, las cuales comparten una misma solución.