Funciones con restricción en el dominio

Funciones con restricciones en el Dominio

1.- Funciones Racionales.

Se define por una ecuación:

si Q(x)≠0

Donde P(x) y Q(x) son polinomios cuya expresión es la relación o cociente de estos polinomios, siempre que Q(x) sea distinto de cero, puesto que la división por cero no esta definida en matemáticas. Esta es la razón de la restricción en el dominio. 

 Ejemplo

X+3≠0

 X≠ --3

Dom = R-{-3}

2.- Funciones Irracionales

Son aquellas que tienen radicales

 

La restricción en el dominio viene dada si n=2k donde k ∊ Z⁺ , puesto que la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero

 Ejemplo:

x-2 ≥ 0

x ≥ 2

Dom  [2,-∞)

Mientras que el rango son todos los números reales positivos incluyendo el cero. El signo viene dado por lo que precede a la raíz.

Cuando n=2k+1 / k ∊ Z⁺, el dominio y el recorrido son todos los números reales.

La restricción en el dominio viene dada si n=2k donde k∊ Z⁺, puesto que la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero.

Ejemplo:

  

3.- Funciones definidas por secciones o Funciones a trozos.

Las funciones no solo pueden estar definidas  por una sola fórmulacomo se muestra a continuación

Es de hacer notar que hay tres propuestas diferentes para la misma función, según este ejemplo tiene una propuesta para los x menores que cero, correspondiente a una función constante “-1”, otra cero es para el valor cero igual a cero y la última una recta  x+2 si la x es mayor que cero. Todas estas deben ser ubicadas en el mismo plano, puesto que es una sola función.

Para poder definir el dominio se debe observar las distintas proposiciones, si es que hay un valor exceptuado allí se refleja, para este ejemplo el dominio son todos los números reales.

4.-Función inversa

La función inversa se representa con f^-1 (no significa 1/f)

En estos casos, solo con despejar la x en la ecuación que determina la función, en términos de y y se obtiene como resultado la función inversa   f^-1(y)=x. no todas las funciones pueden ser invertidas, sin embargo

Cada valor de y hay dos valor de x que se satisfacen con la ecuación. Esto no es función, de allí la condición que para invertir  una esta debe ser inyectiva, es decir que por cada valor de sea solo una imagen de x.

Ejercicios

Operaciones  con funciones reales de variable real

Operar con funciones involucra también hacer con sus imágenes, los cuales son números reales. Por lo tanto dichas operaciones son las mismas adiciones y multiplicaciones ya definidas en R

• Adición de funciones

Sean dos funciones f(x) y g(x), donde la suma entre f y g, la cual se denota f+g es la función

F+g(x)= f(x)+g(x)     x∊ A∩B

• Diferencia de funciones 

 Sean dos funciones f(x) y g(x), donde la resta entre f y g, la cual se denota f-g es la función

F-g(x)= f(x)-g(x)     x∊ A∩B

• Producto de funciones

Sean dos funciones f(x) y g(x), donde el producto entre f y g, la cual se denota f . g es la función

F.g(x)= f(x).g(x)     x∊ A∩B}

En las operaciones anteriores el dominio y la intersección de los valores de x comunes para las funciones.

• Cociente 

Sean dos funciones f(x) y g(x), donde el cociente  entre f / g, la cual se denota f/g es la función

F/g(x)= f(x)/g(x)     donde g(x) ≠ 0

El dominio de esta última son todas las x comunes excepto aquellas para las cuales g(x) ≠ 0

Ejemplo;

Sean 

Las imagenes de esta no son números reales