Plano Cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las coordenadas x, y la vertical, eje de las ordenadas o de las coordenadas y; el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.(0,0).
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades o distancias correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades o distancias correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.
Partes del plano cartesiano
Origen: Intersección entre los ejes de coordenadas. Es el punto (0,0).
Cuadrante se forman por la intersección de estas rectas, correspondientes al eje x y eje y
La figura describe la ubicación de los cuadrantes, en el primero ambas variables tanto la independiente (x) como la dependiente (y) son positivas, en el segundo x es negativa, mientras que y es positiva. En el tercer cuadrante ambas son negativas y por último en el cuarto x es positiva y la variable y es negativa.
Los puntos en el plano cartesiano corresponde a pares de números p (x,y). Para ubicar estos puntos se toma en cuneta dos unidades de distancia tomando como punto inicial, el origen (0,0), para el ejemplo son dos unidades a partir de cero y se proyecto una perpendicular al eje, en forma simultanease desplaza desde el cero por el eje y 3 unidades, una proyección perpendicular al eje. El punto es la intersección de las proyecciones.
La recta
Concepto Algo recto -término que procede del latín rectus– es aquello que no tiene ángulos ni curvas. Cuando el concepto se emplea en femenino (recta), se trata de una noción de la geometría que refiere a la línea unidimensional que, formada por una cantidad infinita de puntos, se prolonga en una misma dirección.
La recta, entonces se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta. Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado.
Las rectas no tienen comienzo ni final: son líneas compuestas de puntos que se suceden de manera indefinida. Están consideradas como uno de los entes fundamentales de la geometría, al igual que los ya mencionados puntos y los planos. Es importante destacar que los puntos también forman segmentos, que son porciones de rectas (comienzan en un punto y terminan en otro). Puede decirse, en este sentido, que una recta está formada por diferentes segmentos
Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación
Ax + By + C = 0
Que también puede escribirse como
ax + by + c = 0
y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales (); y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales (
); y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta. Pendiente
Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:
Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.
La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita (es decir, despejada y):
1. La ecuación general de una recta es 2x-3y+6=0. Calcula la pendiente de la recta.
2. Calcula el valor de k para que la ecuación de la recta kx+3y-9=0 tenga por pendiente m=-1
3.Encontrar la pendiente de la recta que pasa por el puntos
A) (6.3); (-2,5)
B) (7,-2);(4,-2)
C) (1,-3), (1,5)
D) (-3,4) y (6, -2)
E) (-3, -4) y (3, 2)
F) (-4, 2) y ( 3, 2)
G) (2, 4) y (2, -3)
Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto
Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto
Por ejemplo, la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3 y el punto es (0, 5).
Nota: Una ecuación de la forma y = mx representa una recta que pasa por el origen.
Ejemplo:
La pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 4). ¿Cuál es la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto?
1: Escribe la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto con pendiente 3 y el punto en y en (0, 5).
Rectas verticales y horizontales
La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante. Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida.
La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una constante. La pendiente de una recta horizontal es cero.
Ecuaciones de la forma punto-pendiente
La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) con pendiente m en la forma punto-pendiente es
y – y1 = m(x – x1).
Halla la ecuación de la recta dado:
1) m = -3, punto (8, 0)
2) m = -2, punto (4, 2)
3) puntos: (0, 5) y (3, 3)
4) puntos: (-2, 3) y (-1, -6)
Distancia entre dos puntos:
El Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1).
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y2 - y1)
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
Ejercicios
1. Halla la distancia entre A y B en cada caso:
a. A(-7, 4), B(6, 4) b. A(3, 4), B(3, 9) c. A(-5, 11), B(0, -1)
2. Calcula el valor de k para que la distancia de A(-1, 4) a B(k, 1) sea igual a 5.
3. Halla las coordenadas de dos puntos tales que la distancia entre ellos sea igual a 4.
4. Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y clasificas según la longitud de sus lados:
a. A(-2, 2), B(1, 6), C(6, -6) b. A(-5, -2), B(0, 6), C(5, -2)
Punto medio
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.
Ejemplo:
Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.
Rectas paralelas, perpendiculares y secantes.
Rectas paralelas
Dos rectas paralelas son las que “aun prolongadas no se intersectan”.
El ángulo entre ellas es 0° o 180°.
Las pendientes de dos rectas paralelas son iguales:
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares (forman entre ellas un ángulo de 90°) si la pendiente de una es la recíproca de la otra con signo opuesto.
Cuando no se cumplen las condiciones siguientes:
- Rectas paralelas.
- Rectas perpendiculares.
las rectas forman ángulos diferentes de 0°, 90° o 180°.
Ejercicios
1.
pasa por los puntos 
y 
y 
pasa por los puntos 
y 
.
pasa por los puntos y y pasa por los puntos y .
2. pasa por los puntos 
y 
y pasa por los puntos 
y 
.
pasa por los puntos y y pasa por los puntos y . - pasa por los puntos
y 
y pasa por los puntos 
y 
.
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